Skip to main content

Miten David Hilbert valitsi Pariisissa vuonna 1900 esittämänsä yhtälöt, joista yhdestä tuli sitten millenium-ongelma?


Riemannin konjektuuria pidetään matematiikan runsaudensarvena, ja samalla tietenkin tuon yhtälön merkitys esimerkiksi kryptologian alalla ymmärretään varmasti nykyään paljon paremmin kuin itse kuuluisan matemaatikko Riemannin elinaikana.  Olen kirjoittanut jonkin verran ennenkin tästä kuuluisasta kaavasta, jolla voidaan laskea ääretön määrä alkulukuja, ja kuten on todettu, niin tälle yhtälölle ei olla vieläkään löydetty nollakohtaa, joten sen takia se on niin upea sarja-yhtälö, koska tuon konjektuurin avulla voidaan kirjoittaa kevyt ohjelma, jolla sitten tietokone osaa laskea alkulukuja, joita  käytetään RSA-salauksessa. Tuossa salaus-mallissa ASCII-koodi kerrotaan alkuluvulla, jolloin viesti muuttuu sellaiseksi, että sitä eivät tietokoneet sitten osaa avata.


Mutta tässä sitten en tämän enempää tätä yhtälöä käsittele. Seuraava teksti saattaa tuntua joistakin ihmisistä melko raskaalta, mutta tämän asian käsittely vaatii hiukan lähteiden vertailua, jotta asiavirheitä ei sitten pääsisi syntymään, ja tässä heti aluksi sanon, että Riemannin Konjektuuri on ainoa Hilbertin listalla olevista Millenium-ongelmista.  Kuitenkin voidaan sanoa, että jos Bernhardt Riemann olisi elänyt nykyaikana, ja kehittänyt konjektuurin tietokoneen keksimisen jälkeen, niin silloin tuo konjektuuri olisi todennäköisesti valtiosalaisuus. Kuten olisi varmaan myös Poincarén väittämä, jonka mukaan on olemassa yhtälö, jolla voidaan laskea mikä tahansa geometrinen muoto maailmassa.


Tuon yhtälön ratkaisu antoi  Grigori Perelman-niminen matemaatikko, ja siinä sitten hän sai tuon yhtälön ratkaisemisesta luvatun miljoona-palkinnon. Tuon yhtälön ratkaisu ei varmaan mikään kovin hyvä asia esimerkiksi FSB:n mielestä ollut, koska tuon yhtälön avulla voidaan laskea esimerkiksi STEALTH-pommittajien muotoja erittäin tarkasti. Voidaan kuitenkin sanoa, että Riemannin konjektuuri sekä Poincarén väittämä ovat erittäin arvoituksellisia matemaattisia yhtälöitä, koska ne kuuluvat listaan matemaattisia ongelmia, joita David Hilbert-niminen matemaatikko kutsui aikoinaan “Millenium”-ongelmiksi.


Tarkemmin ottaen vain yksi noista “Millenium-ongelmista” on “Hilbertin listana” tunnettujen ongelmien joukossa, ja se millennium-ongelma on juuri tämä “Riemannin konjektuuri”, jolla ei varmasti vuonna 1900 ollut vielä mitään käytännön merkitystä yhtään kenellekään. Nuo millenium-ongelmat muuten on luetteloitu seuraavassa luettelossa. Saattaa olla niin, että niitä ei voida ratkaista matemaattisin menetelmin, koska kaikki ne eivät ole matemaattisia kaavoja. Vaan ehkä tämä ensimmäinen kaava eli P=NP on ehkä sitten joko fysiikan tai kemian alaan kuuluva kaava. Mutta tämä on vain sellaista pohdintaa.


P=NP


Hodgen konjektuuri


Poincarén konjektuuri (ratkaistu)


Riemannin hypoteesi


Yang-Millsin olemassaolo


Navierin–Stokesin yhtälöt


Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuri


Tietokoneiden kehitys ei ollut tuolloin vielä edes alkutekijöissään, joten mitä tuo suuri matemaatikko Hilbert oikeastaan ajatteli nimetessään “Riemannin konjektuurin” suureksi matemaattiseksi haasteeksi, ja sitten tullaan tietenkin Hilbertin listan viimeiseen ongelmaan, minkä sanamuoto on niin outo, että siitä ei varmaan kovin moni saa oikeasti mitään selvää. Mitä mahtoi Herra professori David Hilbert tarkoittaa sanoilla “Variaatiolaskennan jatkokehitys?  Se miten Riemannin konjektuurin kaltaisista ongelmista on muodostunut millenium-ongelmia on nimittäin se arvoitus. Miten Hilbert aikoinaan valitsi tuon kyseisen  ongelman listalleen, koska tuolloin kun Hilbert eräässä puheessaan nuo ongelmat listasi ei ollut käytössä tietokoneita tai CAD-ohjelmia, joiden käytössä näistä yhtälöistä on oikeasti hyötyä.


Clayn matemaattinen instituutti on luvannut miljoonan jokaisesta millenium-yhtälön ratkaisemisesta, joka voidaan sitten matemaattisin menetelmin osoittaa todeksi. Mutta kuitenkin itse olen hieman ihmetellyt sitä, miten tuo meille nykyihmisille melko tuntematon matemaatikko David Hilbert vuonna 1900 matemaatikkojen kokouksessa Sorbonnessa oli valinnut ongelmat listalleen.  Se mikä tekee Hilbertistä kuuluisan on muuten hänen matemaattisten ongelmien listansa, jossa sitten esiintyy Riemannin konjektuuri. Eli epäileekö Hilbert tehdessään omaa listaansa,  että joku valtio olisi tuolloin 1900-luvun alussa  peitellyt elektronista laskukonetta, vai miksi hän juuri tällaisista ongelmista oli kiinnostunut?  Muuten kyseinen mies on aika tuntematon suuruus matematiikan kivisellä saralla, ja syytä siihen, miksi hän toimi tuon “Hilbertin listan” tapauksessa niin kuin toimi on hiukan mystistä luettavaa.


Kun Hilbert piti puheensa Sorbonnessa tuossa kuuluisassa kokouksessa, niin hän antoi luettelon kuuluisista ongelmistaan vain  1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 ja 22, ja täydellisen listan hän sitten julkaisi myöhemmin. Tuo hänen listansa löytyy Wikipediasta tai Internetistä ylipäätään hakusanoilla “Hilbertin lista. Se mikä itseäni hiukan hymyilyttää tuossa Hilbertin tavassa esittää asioita on se, että hän matkusti Pariisiin pitämään esitelmää jossain matemaatikkojen kokouksessa, mutta siellä hän esitteli vain osan noista ongelmistaan, ja julkaisi sitten jossain matemaatikkojen lehdessä lopun listan.


Ja tuolloin kyllä varmasti olisi mukavaa saada tietää Pariisin luentosaliin kokoontuneen ihmisjoukon mielipiteen tuosta julkaisusta, koska tuolloin Hilbert ikään kuin petti yleisönsä. Samoin en juurikaan ole kuullut matemaatikkojen pitävän mitään kansainvälisiä kokouksia, joten se tekee tästä Sorbonnen kokouksesta kovin erikoisen. Tuo konferenssi saattaa olla esimerkiksi Isaac Asimovin Säätiö-sarjan matemaatikkojen konferenssin esikuva. “Millenium-palkinnon” arvoiset kaavat ovat sikäli erikoisia, että kun ne esiteltiin suurelle yleisölle, niin tietokoneista ei silloin tiedetty yhtään mitään. Eli niistä ei ollut kenellekään mitään iloa. Tuo saksalainen matemaatikko on muuten kuuluisa noiden ongelmien kautta, eikä siitä että hän mitään kovin suuria asioita olisi muuten matematiikan eteen tehnyt.


Kuitenkin nuo hänen kuuluisat 23 ongelmaansa, joista vain yksi on niin sanottu Millenium-ongelma ovat hyvin merkillisiä asioita. Nimittäin se tutkijoita kiinnostaa, että millä perusteella Hilbert aikoinaan tuon hänen listallaan olevat ongelmat sitten valitsi.  Se mikä myös kiinnostaa tutkijoita näissä millenium-ongelmissa on se, että mitähän varten nämä yhtälöt on aikoinaan kirjoitettu, jos niitä ei sitten voida todistaa oikeiksi edes tietokoneiden avulla. Eli miksi joku sitten oli tuollaisia yhtälöitä ruvennut kirjoittamaan, jos hänellä ei ollut niille mitään käyttöä, ja mitä noiden yhtälöiden tekijät sitten olisivat noilla saavutuksillaan tehneet, on myös erittäin arvoituksellista.


Millenium-ongelmat ovat nimittäin siitä erikoisia, että esimerkiksi listan ensimmäisen ongelman P=NP selvittämiseen ei pitäisi hirveän kauan aikaa mennä. Mutta se mikä ongelmassa pistää silmään, on sen ratkaisun näennäinen helppous. Kuitenkaan kyseessä ei ole kovin helppo yhtälö, koska “ P= NP? on laskennan vaativuus-teorian kuuluisimpia ratkaisemattomia ongelmia. Ongelmassa yritetään ratkaista vaativuusluokkien P ja NP suhdetta. P = NP? -ongelma voidaan ilmaista ”Jos jonkin ongelman ratkaisu voidaan tarkastaa tehokkaasti, niin voidaanko ongelma myös ratkaista tehokkaasti?”.


Luokkaan P (polynomial) kuuluvat kaikki ongelmat, jotka tiedetään voitavan ratkaista "tehokkaasti" eli polynomisessa ajassa. Luokkaan NP (non-deterministic polynomial) taas kuuluvat ongelmat, joiden ratkaisun oikeellisuus voidaan tarkistaa tehokkaasti. Määritelmän perusteella P ⊆ NP.


NP-täydelliseksi kutsutaan sellaista luokan NP-ongelmaa, jolle polynomisessa ajassa toimivan ratkaisun löytyminen merkitsisi sitä, että kaikkiin luokan NP-ongelmiin löytyisi polynomisessa ajassa toimiva ratkaisu. NP-täydellisiin ongelmiin kuuluu mm. kauppamatkustajan ongelma ja lukuisia muita tärkeitä ongelmia. Nykyisin kaikki tunnetut NP-täydellisten ongelmien ratkaisu algoritmit ovat ylipolynomisia, eli niiden vaativuus kasvaa erittäin nopeasti ongelman suuruusluokan kasvaessa.


Vaativuusteorian kuuluisimpia ongelmia on näiden kahden luokan välinen suhde eli ”onko P = NP?”.


Clay-instituutti lupasi miljoona dollaria tämän ongelman ratkaisemisesta. Vinay Deolalikar väitti ratkaisseensa ongelman 11. elokuuta 2010.[1] Deolalikarin todistus joutui kuitenkin heti arvostelun kohteeksi.[2] Käytännössä pidettiin jo etukäteen todennäköisenä, ettei lause P = NP pidä paikkaansa eikä NP-täydellisille ongelmille siten voida löytää tehokkaita ratkaisualgoritmeja nykyisenkaltaisille tietokoneille” (Wikipedia)


Onko P=NP ehkä fysiikan tai kemian kaava?


Toki saattaa olla niin, että tuo yhtälö ei ole edes matemaattinen yhtälö, vaan olisiko sitten N oikeasti Newton sekä P olisi sitten ehkä painetta merkitsevä termi. Jolloin P= NP ehkä sitten kaava, jossa paineen tai momentin pitää olla sama kuin fysiikan yksikön Newtonin kerrottuna paineella. Tuolloin kyseessä ei ole mitenkään erityisesti matematiikan piiriin kuuluva tehtävä, vaan fysiikan lasku, jossa Paine= Newton*Paine. mutta miksi tuo yhtälö olisi sitten tehty? Siinä voisi olla sellainen juoni, että jokin köysi vetäisi sitten tiettyä kappaletta vastaan, jossa sitten olisi tietty newton määrä. Tämä tietenkin on vain mietintää, ja siitä saa jokainen olla eri mieltä, mutta voi tietenkin olla niin, että kyseessä on fysiikan tai kemian kaava.


Jos tuo kaava on kemian alaan kuuluva, niin silloin tietenkin se menisi niin, että Fosforin määrän pitäisi reaktiossa vastata fosforin sekä typen määrää, mutta silloinkin tuosta asiasta voidaan keskustella. Eli mitä tuo kemiallinen kaava sitten mahtoi tarkoittaa käytännössä, ja minkä reaktion kaava se olisi. Tuo asia varmasti kiehtoo monia ihmisiä päällä maan.

Comments

Popular posts from this blog

Schrödinger's cat: and the limits of that idea.

"In quantum mechanics, Schrödinger's cat is a thought experiment concerning quantum superposition". (Wikipedia, Schrödinger's cat). But the same thing can use as model for many other thought experiments.  Sooner or later, or at least in the ultimate end of the universe, the Schrödinger's cat will turn into wave movement. The information that this cat involved exists but the cat does not exist in its material form. The information doesn't ever vanish. It just turns its shape.  We are all trapped in the universe and time. The universe is the space that is entirety to us. There are no confirmed other universities. But the multiverse is a logical continuum for the expanding galactic megastructures.  The problem with natural things is this. They are black and white. They exist or do not exist. Could there be something, that exists and not exists at the same time?  Scrödinger's cat is thinking experiment about case their cat is not dead or not alive. But in this...

The string theory offers a new way to calculate Pi.

"Scientists discovered a new series for pi through string theory research, echoing a 15th-century formula by Madhava. By combining Euler-Beta Functions and Feynman Diagrams, they modeled particle interactions efficiently. Credit: SciTechDaily.com" (ScitechDaily, String Theory Unravels New Pi Formula: A Quantum Leap in Mathematics) People normally think that. The pi is the ratio of the circumference circle's circumference to the circle's diameter. The Pi is a mathematical constant 3.14159..., the endless decimal number. The Pi is interesting because developers can use that decimal number to make the encryption algorithms stronger.  The idea is that the encryptions program hides the message's original ASCII numbers by multiplicating those numbers with some decimal number. Or the system can add some numbers to those ASCII numbers.  "Aninda Sinha (left) and Arnab Saha (right). Credit: Manu Y" (ScitechDaily, String Theory Unravels New Pi Formula: A Quantum Le...

There are always more than three actors in the real world.

"An international research team is advancing precision timekeeping by developing a nuclear clock using thorium isotopes and innovative laser methods, potentially transforming our understanding of physical constants and dark matter. (Artist’s concept.) Credit: SciTechDaily.com" (ScitechDaily, Unveiling the Thorium Nuclear Clock and Its Time-Twisting Secrets) From Three-body problem... There are no pure three-body systems in nature. There are always more than three components in the system. For making real three-body systems we must separate those three bodies from the environment. Otherwise, there are stable effects. But nobody can predict some effects like distant supernova explosions or sun eruptions.  And one of those things that affect all bodies is time. When radioactive materials decay. That affects the stability and symmetry of the object.  Energy levels affect the existence of things like neutrons. The thorium atom clocks are next-generation tools for time measurement....